Syllabus du M1

Fiche filière MIGS1 ici

Conditions d’admission

Etre titulaire d’une Licence de Mathématiques ou d’un diplôme équivalent. Une formation préalable en probabilités, statistique, analyse numérique (niveau licence) est souhaitable.
Organisation et contenu des études

La première année du master MIGS représente un volume de 579 heures. Les enseignements sont organisés en Unités d’Enseignement (UE) semestrielles qui sont capitalisables et ont une valeur de 6 ECTS. Chaque étudiant doit suivre les 9 UE obligatoires M11, M12, M13, M14, M15, M17, M18, M19 et M110 et suivre une UE optionnelle choisie parmi les UE M16, M16a (UE du M1 STIC) ou M16b.

Liste des UE 

– M11 : Optimisation (1er semestre),
– M12 : Théorie des probabilités (1er semestre)
– M13 : Algorithmique et programmation C++ (1er semestre)
– M14 : Analyse des données (1er semestre)
– M15 : Anglais et projet personnel (1er semestre)
– M16 : Algorithmes stochastiques (2ème semestre)
– M16a : (STIC) Synthèse d’images (2ème semestre)
– M16b : Stage en entreprise ou en laboratoire (fin de 2ème semestre)
– M17 : Statistique inférentielle (2ème semestre)
– M18 : Equations différentielles ordinaires et applications (2ème semestre)
– M19 : Géométrie pour l’infographie et la CAO(2ème semestre)
– M110 : Projet personnel (2ème semestre)

Filières, orientation, information

Toutes les UE du master MIGS contiennent des travaux pratiques sur des logiciels. Elles constituent ainsi une formation basique indispensable à tout mathématicien souhaitant intervenir dans les secteurs professionnels visés par le Master « Mathématiques, informatique graphique et statistiques ».

Des réunions d’information et d’orientation ont lieu au début de chaque semestre entre enseignants et étudiants.

Détails des enseignements

UE M11 : Optimisation 

Motivations

Décrire et étudier les méthodes numériques classiques d’optimisation convexe avec et sans contraintes. On donnera également les bases d’analyse convexe nécessaires à la compréhension et à l’étude de ces méthodes. Les TP se feront avec Matlab.

Contenu

Notions fondamentales d’analyse convexe, méthodes numériques : gradient, gradient conjugué, quasi-Newton, recherche linéaire, conditions d’optimalité en optimisation convexe avec contraintes, dualité lagrangienne, méthodes de pénalisation, méthodes numériques utilisant la notion de dualité..

UE M12 : Théorie des probabilités 

Motivations

Les probabilités sont la clé des modélisations et simulations de phénomènes aléatoires et l’outil de base de la statistique inférentielle. Ce cours présente les notions et résultats fondamentaux de la théorie avec un parti pris d’illustration de ces concepts en termes de modélisation et simulations. Il est recommandé d’avoir suivi les cours de probabilité et statistique de niveau licence. Les TP seront faits sous Scilab.

Contenu

Comment se donner et (ou) caractériser puis identifier la loi d’une variable ou d’un vecteur aléatoire : Méthode de la fonction borélienne, Fonction de répartition et caractéristique, Lois classiques.

Comment construire modéliser et simuler des phénomènes aléatoires complexes : notion d’indépendance, espérances et lois conditionnelles.

Approximation de phénomènes aléatoires, convergence ; illustrations par la simulation. Uniforme intégrabilité, Tension, Couplages. Les diverses notions de convergences et leurs propriétés de stabilité par « perturbation ».

Les comportements asymptotiques de phénomènes aléatoires : Loi du 0-1, Lois des grands nombres, Théorème central limite, Théorème de Glivenko Cantelli.

Exemples étudiés de façon théorique après simulation sur machine : Vecteurs gaussiens, Marches aléatoires : temps d’atteinte de barrières, récurrence et de transience. Étude par simulation d’exemples de processus à temps discrets sous Scilab.

UE M13 : Algorithmique et programmation C++ 

Motivation

familiariser l’étudiant de mathématiques aux principaux principes de modélisation informatique des données et à leur manipulation dans des algorithmes en vue de résoudre un problème. Ce module comporte une partie théorique décrivant les principaux types de données structurées et les algorithmes les utilisant et une partie consacrée à l’apprentissage de la programmation en C/C++ et à l’implantation des algorithmes étudiés.

Algorithmique et structures de données

Tableaux, principaux algorithmes de tri dans un tableau, recherche d’un élément dans un tableau ordonné par recherche dichotomique. Listes chaînées et leur manipulation. Arbres binaires de recherche. Structures de données abstraites (Liste, Pile, File, Arbre binaire).

Langage C/C++

Notions de base : types, variables et constantes ; syntaxe de base ; fonctions.

Pointeurs, références, tableaux.

Introduction à la programmation orientée objet : classes, surcharge d’opérateurs, encapsulation de données, patrons de classes, héritage, typage dynamique.

Chaînes de caractères, flux, lecture et écriture dans un fichier

Introduction à la Standard Template Library.

UE M14 : Analyse des données 

Motivation

Ce cours présente les notions de base d’analyse des données utiles à l’ingénieur pour extraire rapidement l’information essentielle de données de grande dimension. les TP seront faits sous R ou Matlab.

Contenu

Rappels sur la résolution de systèmes linéaires, diagonalisation de matrices symétriques, projecteurs sur des espaces euclidiens et décomposition en valeurs singulières. Rappels de statistique descriptive (univariée et bivariée). Moyenne, médiane, quantiles, variance, matrice de variance-covariance : point de vue de la géométrie euclidienne. Régression linéaire simple et multiple, point de vue géométrique

Analyse en Composantes principales (ACP)

Analyse discriminante (géométrique)

Analyse factorielle des correspondances (AFC, AFCM)

UE M15 : Projet et Anglais 

Cette UE comprend une partie d’anglais scientifique et une partie projet personnel mettant en oeuvre analyse mathématique d’un problème concret et programmation sous Matlab par exemple.

UE M16 : Algorithmes stochastiques 

Intérêt des algorithmes stochastiques. Premiers exemples (problèmes de tri, algorithmes sur des graphes,…). Complexité en moyenne.

Outils pour évaluer les écarts à la moyenne, inégalités de concentration. Applications au problème des mariages et au collectionneur d’images.

Martingales : définitions, convergence, théorème d’arrêt, inégalité d’Hoeffding-Azuma, suites régressives. Applications (algorithme de Robbins- Monro, bandit à deux bras, estimation dans les processus auto-régressifs, Bin Packing, arbres binaires de recherche).

Chaînes de Markov : définitions, comportement en temps long. Applications.

Les TP seront faits avec Matlab ou Scilab.

UE M17 : Statistique inférentielle 

Motivation

Ce cours est une introduction à la théorie de la statistique, il donne les bases théoriques nécessaires à la bonne utilisation des outils statistiques. On présentera aussi des exemples concrets d’applications. Les TP seront faits avec R.

Contenu

Modèles statistiques, modèles paramétriques.
Estimateurs par maximum de vraisemblance. Méthode des moments. Propriétés. Lois asymptotiques. Statistique exhaustive.
Estimation ponctuelle et par intervalles de confiance,
Théorie des tests statistiques, exemples de tests paramétriques et non paramétriques.

UE M18 : Equations différentielles ordinaires et applications 

Rappels (Cauchy-Lipschitz, Caratheodory).
Singularités des champs de vecteurs. Poincaré-Bendixson, variété centrale.
Schémas numériques (consistance, stabilité, convergence).
Méthodes à un pas (Runge-Kutta), multipas (Adams).
Applications en géometrie (courbes et surfaces minimales), mécanique. Les TP seront faits avec Matlab.

UE M19 : Géométrie et CAO

Les développements récents de l’infographie, de l’imagerie 3D (imagerie médicale et industrielle, jeux vidéo, films, géométrie moléculaire) et de la CAO (Conception Assistée par Ordinateur) nécessitent de bonnes connaissances en mathématiques, notamment en géométrie, et en algorithmique (graphes, géométrie algorithmique, algorithmes probabilistes,…). Ce cours constitue une formation de base dans ce domaine en pleine expansion. Les notions introduites seront motivées et/ou illustrées par des problèmes ou des exemples concrets. Les TP seront faits avec Matlab.

Contenu :

Courbes (essentiellement des rappels) : courbure, torsion, repère de Frenet, théorème de Jordan, inégalité isopérimétrique, enveloppes, courbes focales.
Surfaces et hypersurfaces : les deux formes fondamentales d’une surface, courbures, formule de Gauss-Bonnet, géométrie intrinsèque, transport parallèle, géodésiques.
Eléments de topologie algébrique : complexes simpliciaux, triangulations, classification des surfaces, caractéristique d’Euler-Poincaré
Théorie de Morse.
Représentation des courbes et surfaces pour la CAO, approximation des courbes, splines, B-splines, Bézier, NURBS.
Introduction à la géométrie algorithmique : intersections de segments, calcul d’enveloppes convexes en 2D, dualité, programmation linéaire.
Structures de données géométriques, notions de complexité, algorithmes déterministes et probabilistes.
Diagrammes de Voronoi, triangulations de Delaunay en 2D.

UE M110 : Projet personnel 

Cette UE doit permettre à un étudiant (ou à un petit groupe d’étudiant) de travailler sur un problème concret dont la résolution demandera une part d’analyse mathématique (statistique, CAO, …) et une part de programmation. La partie programmation se fera à l’aide du langage le plus approprié (C, C++, Matlab, R).

Le projet conduira à la rédaction d’un mémoire et sera évalué lors d’une soutenance orale.

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