Mémoire de M1 :

Pour les mémoires de recherche en PMG, le travail demandé à l’étudiant(e) ou au binôme sera la rédaction d’un rapport d’approximativement 15-25 pages écrit en Latex.

Ce travail commencera début octobre et s’achèvera par le dépôt du manuscrit puis la soutenance orale vers le mois d’avril (dates à préciser ultérieurement). Pour les étudiant(e)s seul(e)s, la soutenance durera de 15 à 20 minutes et sera suivie par 10 minutes de questions. Pour les binômes, la soutenance durera de 20 à 25 minutes et sera suivie par 20 minutes de questions. Les étudiant(e)s devront montrer qu’ils maîtrisent les concepts mathématiques de leur mémoire.

La liste des sujets pour l’année 2024-2025 est la suivante :

SUJET 1. Une introduction à la théorie ergodique.
La théorie ergodique permet de décrire un système dynamique d’un point de vue probabiliste, en décrivant le comportement
sur le long terme d’orbites typiques. On propose de découvrir ce domaine par l’étude classique de systèmes dynamiques
définis par des transformations linéaires d’un espace vectoriel réel. On apprendra les théorèmes ergodiques fondamentaux
(Birkhoff, Kingman,…) pour ensuite parler d’exposants de Lyapunov et des résultats à la Furstenberg.
Responsable : Michele Triestino

SUJET 2. Les pavages du plan
Résumé : Vous souhaitez paver votre salle de bain et donc vous vous rendez à magasin spécialisé pour choisir vos carreaux.
Le choix est limité, mais n’est pas simple. Pour un pavage avec des polygones réguliers, seuls les carrés, les triangles et les
hexagones peuvent servir. Mais il y a plus compliqué, comme les pavages semi-réguliers, ou les pavages avec des polygones
irréguliers, des pentagones irréguliers par exemple. Il vous faudra donc comprendre quelles sont toutes les possibilités et
pourquoi seulement celles-la. Pour commencer votre recherche je vous suggère de visionner le film “Voyages au pays des
maths – Les pavages du plan” sur le site Arte.tv. Le reste sera votre projet. En particulier il vous faudra trouver les références
des résultats, comprendre les démonstrations et les rédiger.
Responsable : Luis Paris

SUJET 3. Groupes de réflexions finis
Résumé : En géométrie et théorie des groupes un groupe de réflexions est un groupe d’isométries linéaires engendré par des
réflexions orthogonales. Dans ce projet nous nous intéresserons au groupes de réflexions finis. Des exemples de tels groupes
sont les groupes diédraux et les groupes symétriques. Remarquez que, si G1 est un groupe de réflexions agissant sur Rn1 et G2
est un autre groupe de réflexions agissant sur Rn2 , alors G1 ×G2 est un groupe de réflexions agissant sur Rn1 ×Rn2 = Rn1 +n2 .
On dit qu’un groupe de réflexions G agissant sur Rn est irréductible s’il n’est pas un produit direct comme ci-dessus. Il est
clair que pour comprendre les groupes de réflexions finis il suffit de comprendre ceux qui sont irréductibles. En dimension 2
il y a les groupes diédraux. A partir de la dimension 3 il y en a un nombre fini et à partir de la dimension 9 il n’y en que
trois. Le but de ce projet est de comprendre cette classification.
Responsable : Luis Paris

SUJET 4. Équations polynomiales et base de Gröbner.
Résumé : Si on se donne un système linéaire, on sait comment calculer les solutions grâce notamment au Pivot de Gauss.
Cette méthode algorithmique est suffisamment efficace pour traiter des système de grande taille. Mais qu’en est t’il pour
les systèmes polynomiaux à plusieurs inconnues ? Par exemple, sait t’on déterminer les (x,y) tels que 2×2 + 3y2 = 1 et
x2 + 3y3 = 2 ? De tels méthodes existent et utilisent les bases de Gröbner. Une question intermédiaire qui va intervenir et qui
sera central sera de savoir comment fonctionne la division euclidienne pour les polynômes de plusieurs variables. Les outils
mettent en pratique des notions d’algèbre commutative qui seront vu au premier semestre du M1. Ce sujet conviendra a
tout étudiante ou étudiant qui aime l’algèbre, et faire des calculs élémentaires sur des exemples pour tirer des théories plus
profondes.
Responsable : Thomas Dreyfus

SUJET 5 . Découverte de la géométrie de groupes.
Résumé : Lorsqu’on parle de groupes on pense d’abord à un objet algébrique, parfois très abstrait. Et pourtant, depuis les
années 80 une nouvelle branche des mathématiques, la théorie géométrique des groupes, propose une approche différente sur
le sujet. L’idée est de munir les groupes d’une métrique, permettant de les étudier avec des techniques géométriques.
Le but de ce mémoire sera de découvrir la théorie géométrique des groupes.
Responsable : Rémi Coulon

SUJET 6. L’inégalité de corrélation gaussienne
Résumé : L’une des inégalités les plus célèbres en probabilité est l’inégalité de corrélation gaussienne :
P(X ∈ A ∩ B) ≥ P(X ∈ A) × P(X ∈ B),
où X un vecteur gaussien centré et A, B sont des ensembles convexes symétriques. Cette inégalité conjecturée en 1972 a été
très récemment prouvée par Thomas Royen en 2014. L’objectif de ce mémoire est d’étudier la preuve de ce résultat ainsi que
les conséquences pratiques de cette inégalité en statistique.
Responsable : Yoann Offret

SUJET 7. Nombres de Bell et nombres de Stirling de deuxième espèce : Application à l’étude de la loi de Irwin-Hall
Résumé : Le nombre de Bell Bp d’un entier naturel non nul p représente le nombre de partitions de l’ensemble
{1, . . . , p}. Ce nombre est souvent exprimé comme une somme de nombres de Stirling de deuxième espèce associé au
nombre de partitions de {1, . . . , p} en m parties disjointes. Les nombres de Bell et les nombres Stirling de deuxième
espèce ont quelques applications en théorie des probabilités. L’étudiante ou l’étudiant choisissant ce projet pourra, à sa guise,
explorer les points suivants : Démontrer l’identité d’IrwinHall, ou retrouver la formule de Dobiński à l’aide de l’identité d’IrwinHall,
ou écrire un programme calculant les nombres de Bell ainsi qu’un programme calculant les nombres de Stirling.
Responsable : Patrick Tardivel

SUJET 8. Agrégation limité par diffusion interne
Résumé : Trouvant des motivations dans la physique, le modèle d’Agrégation Limitée par Diffusion Interne
(IDLA) a été introduit ensuite dans la sphère mathématique.
Il s’agit d’un modèle de croissance aléatoire qui peut être décrit assez informellement comme suit.
Plaçons nous sur Zd et définissons l’agrégat initial A0 comme étant constitué du singleton 0. Pour n ∈ N, l’agrégat An est
construit en lançant une marche aléatoire simple au plus proche voisin sur Zd depuis l’origine et en ajoutant à l’agrégat
An−1 le premier site visité par la marche en dehors de celui-ci. Les marches utilisées à chaque étape de la construction
sont indépendantes les unes des autres. Une question naturelle est la description de la forme asymptotique (après éventuelle
renormalisation) de An lorsque n tend vers l’infini.
Responsable : Arnaud Rousselle

SUJET 9 . Introduction à la théorie des valeurs extrêmes
Résumé : Étant donnée une suite de variables aléatoires réelles (Xk )k∈N∗ , la Théorie des Valeurs Extrêmes (EVT) vise à l’étude du
comportement (asymptotique) de Mn = max1≤k≤n Xk et mn = min1≤k≤n Xk ou plus généralement aux statistiques d’ordre,
dans un premier temps en supposant les Xk indépendantes puis en cherchant à relâcher cette hypothèse. Ce mémoire se veut
être une introduction à cette théorie.
Responsable : Arnaud Rousselle

SUJET 10. Caractéristiques géométriques des cellules de la mosaı̈que de Poisson-Voronoı̆
Résumé : Étant donné un ensemble de points localement fini ξ ∈ Rd, on peut définir la mosaı̈que de Voronoı̆ associée à cet ensemble
comme la collection des cellules de Voronoı̆ Vorξ (x) des points dont la distance à x est inférieure à la distance à tout point de ξ.
Cette mosaı̈que fournit un découpage de Rd en des polygones convexes naturel pour des modèles dans lesquels une compétition pour les ressources intervient.
Lorsque ξ est une réalisation (aléatoire) d’un processus ponctuel de Poisson (PPP) dans Rd , on parle de mosaı̈que de
Poisson-Voronoı̆. Si un point est ajouté à ξ en 0, la cellule contenant l’origine est, en un certain sens, typique.
Dans ce mémoire, on s’intéressera aux distributions de caractéristiques géométriques (nombre d’hyperfaces ou de sommets,
volume, …) de la cellule typique de la mosaı̈que de Poisson-Voronoı̆.
Responsable : Arnaud Rousselle

SUJET 11 . Constructions à la règle et au compas.
Résumé : Étant donnés deux points du plan à distance 1, quels sont les points du plan qui peuvent être construit à la règle et
au compas ? La théorie de Galois permet de répondre complètement à cette question, c’est le théorème de Gauss-Wantzel qui
caractérise complètement les points du plan constructibles. En particulier, les problèmes classiques de trisection de l’angle
et de quadrature du cercle n’ont pas de solution.
Que se passe-t-il si on autorise uniquement l’usage du compas ? Un théorème surprenant, dû à Mohr et Mascheroni, dit que
toute construction possible à la règle et au compas est en fait réalisable avec le compas seulement !
L’objet principal du mémoire sera d’expliquer les théorèmes de Gauss-Wantzel et de Mohr-Mascheroni.
Responsable : Renaud Detcherry

SUJET 12 . Résoluble ou impossible ?
Quand les degrés montent, les polynômes revêtent leurs habits distingués et se fondent dans l’ambiguı̈té
Résumé : Il est bien connu de tout étudiant en mathématique que les racines d’un polynôme de degré 2 peuvent s’obtenir
à l’aide de formules utilisant des fonctions polynomiales et des racines carrées. Des formules similaires existent pour les
polynômes de degré 3 ou 4. On dit qu’ils sont résolubles par radicaux. Il y a près de 200 ans, Évariste Galois prouve, dans
sa ”théorie de l’ambiguı̈té”, qu’il n’existe pas de telles formules générales en degré 5 ou supérieur. Il se trouve que Niels
Abel avait déjà démontré ce résultat quelques années plus tôt. Sa preuve repose sur la topologie et la théorie des groupes
et le but de ce mémoire est d’en comprendre les éléments centraux (en langage moderne : théorie des revêtements, groupes
fondamentaux, sous-groupes distingués et groupes simples).
Responsable : Johan Taflin

SUJET 13 . Coeur parfait et rang de Cantor-Bendixson
Résumé : Dans un espace topologique X, un élément x ∈ X est un point d’accumulation lorsque x est limite d’éléments
de X distincts de x. La dérivée de Cantor-Bendixson de X est l’ensemble des points d’accumulation de X.
On se propose d’étudier ce qui se passe quand on itère la dérivation. On construira un espace dénombrable dont la n-ième dérivée est non vide pour tout n ∈ N.
Mieux, on fera en sorte que l’intersection de toutes ses dérivées n-ièmes sera non vide, de sorte qu’on pourra dériver de
nouveau l’ensemble obtenu ! On se demandera jusqu’où on peut aller comme ça, ce qui sera l’occasion d’aborder les nombres
ordinaux en détail. L’espace obtenu à la fin des dérivations est appelé le coeur parfait de X, et le déterminer pour certains
espaces topologiques naturels est un problème ouvert.
Responsable : François Le Maı̂tre

Un résumé plus précis et détaillé des différents sujets, ainsi que des références, sont consultables ici : liste des mémoires 2024/2025

La liste des sujets de mémoire proposés en 2023/2024

Trois exemples de mémoires rendus par les élèves des années précédentes:

Le théorème de Polya, par Eva Feyeux et Lisa Labrosse (2023)

Poincaré ou la non-fabrique du sandwich, par Adrien Pautre (2023)

Objets convexes de largeur constante et Théorème de Blaschke-Lebesgue, par Etienne Henry (2018)